Формула приближенного вычисления с помощью первого дифференциала

Приближенные вычисления с помощью дифференциала

Рассмотрим широко распространенную задачу о приближенном вычислении значения функции с помощью дифференциала.

Здесь и далее речь пойдёт о дифференциалах первого порядка, для краткости часто будем говорить просто «дифференциал». Задача о приближенных вычислениях с помощью дифференциала обладает жёстким алгоритмом решения, и, следовательно, особых трудностей возникнуть не должно. Единственное, есть небольшие подводные камни, которые тоже будут подчищены. Так что смело ныряйте головой вниз.

Кроме того, в разделе присутствуют формулы нахождения абсолютной и относительной погрешностей вычислений. Материал очень полезный, поскольку погрешности приходится рассчитывать и в других задачах.

Для успешного освоения примеров необходимо уметь находить производные функций хотя бы на среднем уровне, поэтому если с дифференцированием совсем нелады, пожалуйста, начните с нахождения производной в точке и с нахождения дифференциала в точке. Из технических средств потребуется микрокалькулятор с различными математическими функциями. Можно использовать возможности MS Excel, но в данном случае он менее удобен.

Урок состоит из двух частей:

– Приближенные вычисления с помощью дифференциала значения функции одной переменной в точке.

– Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала значения функции двух переменных в точке.

Рассматриваемое задание тесно связано с понятием дифференциала, но, поскольку урока о смысле производной и дифференциала у нас пока нет, ограничимся формальным рассмотрением примеров, чего вполне достаточно, чтобы научиться их решать.

Приближенные вычисления с помощью дифференциала функции одной переменной

В первом параграфе рулит функция одной переменной. Как все знают, она обозначается через y или через f(x). Для данной задачи намного удобнее использовать второе обозначение. Сразу перейдем к популярному примеру, который часто встречается на практике:

Пример 1

Вычислить приближенно , заменяя приращения функции ее дифференциалом.

Решение: Пожалуйста, перепишите в тетрадь рабочую формулу для приближенного вычисления с помощью дифференциала:

Начинаем разбираться, здесь всё просто!

На первом этапе необходимо составить функцию . По условию предложено вычислить кубический корень из числа: , поэтому соответствующая функция имеет вид: .

Нам нужно с помощью формулы найти приближенное значение .

Смотрим на левую часть формулы , и в голову приходит мысль, что число 67 необходимо представить в виде . Как проще всего это сделать? Рекомендую следующий алгоритм: вычислим данное значение на калькуляторе:

– получилось 4 с хвостиком, это важный ориентир для решения.

В качестве x₀ подбираем «хорошее» значение, чтобы корень извлекался нацело. Естественно, это значение x₀ должно быть как можно ближек 67.

В данном случае x₀ = 64. Действительно, .

Примечание: Когда с подбором x₀ всё равно возникает затруднение, просто посмотрите на скалькулированное значение (в данном случае ), возьмите ближайшую целую часть (в данном случае 4) и возведите её нужную в степень (в данном случае ). В результате и будет выполнен нужный подбор x₀ = 64.

Если x₀ = 64, то приращение аргумента: .

Итак, число 67 представлено в виде суммы

Далее работаем с правой частью формулы .

Сначала вычислим значение функции в точке x₀ = 64. Собственно, это уже сделано ранее:

.

Дифференциал в точке находится по формуле:

– эту формулу тоже можете переписать к себе в тетрадь.

Из формулы следует, что нужно взять первую производную:

И найти её значение в точке x₀:

.

Всё готово! Согласно формуле :

Найденное приближенное значение достаточно близко к значению 4,06154810045, вычисленному с помощью микрокалькулятора.

Ответ:

Пример 2

Вычислить приближенно , заменяя приращения функции ее дифференциалом.

Это пример для самостоятельного решения. Примерный образец чистового оформления и ответ в конце урока. Начинающим сначала рекомендую вычислить точное значение на микрокалькуляторе, чтобы выяснить, какое число принять за x₀, а какое – за Δx. Следует отметить, что Δx в данном примере будет отрицательным.

У некоторых, возможно, возник вопрос, зачем нужна эта задача, если можно всё спокойно и более точно подсчитать на калькуляторе? Согласен, задача глупая и наивная. Но попытаюсь немного её оправдать. Во-первых, задание иллюстрирует смысл дифференциала функции. Во-вторых, в древние времена калькулятор был чем-то вроде личного вертолета в наше время. Сам видел, как из одного из институтов году где-то в 1985-86 выбросили компьютер размером с комнату (со всего города сбежались радиолюбители с отвертками, и через пару часов от агрегата остался только корпус). Антиквариат водился и у нас на физфаке, правда, размером поменьше – где-то с парту. Вот так вот и мучились наши предки с методами приближенных вычислений. Конная повозка – тоже транспорт.

Так или иначе, задача осталась в стандартном курсе высшей математики, и решать её придётся. Это основной ответ на ваш вопрос =).

Пример 3

Вычислить приближенно с помощью дифференциала значение функции в точке x = 1,97. Вычислить более точное значение функции в точке x = 1,97 с помощью микрокалькулятора, оценить абсолютную и относительную погрешность вычислений.

Фактически, это задание запросто можно переформулировать так: «Вычислить приближенное значение с помощью дифференциала»

Решение:Используем знакомую формулу:

В данном случае уже дана готовая функция: . Ещё раз обращаю внимание, что для обозначения функции вместо «игрека» удобнее использовать f(x).

Значение x = 1,97 необходимо представить в виде x₀ = Δx. Ну, тут легче, мы видим, что число 1,97 очень близко к «двойке», поэтому напрашивается x₀ = 2. И, следовательно: .

Вычислим значение функции в точке x₀ = 2:

Используя формулу , вычислим дифференциал в этой же точке.

Находим первую производную:

И её значение в точке x₀ = 2:

Таким образом, дифференциал в точке:

В результате, по формуле :

Вторая часть задания состоит в том, чтобы найти абсолютную и относительную погрешность вычислений.

Источник

Применение производной к приближенным вычислениям

п.1. Определение и геометрический смысл дифференциала

Выберем на кривой \(y=f(x)\) начальную точку \(A(x_0,y_0)\). Если мы начнем перемещаться к точке \(B(x,y)\), то приращению аргумента \(\triangle x=AC\) соответствует приращение функции \(\triangle y=BC\). Если считать, что кривая приблизительно совпадает со своей касательной при малых приращениях \(\triangle x\), то \(BC\approx MC\) и \(\triangle y\approx dy\).

п.2. Алгоритм приближенных вычислений с помощью дифференциала

На входе: функция \(y=f(x)\), точка x*, в которой нужно посчитать значение функции
Шаг 1. Определяем ближайшую к x* начальную точку \(x_0\), для которой значение \(y_0=f(x_0)\) известно или легко находится.
Шаг 2. Находим выражение для первой производной \(f'(x)\).
Шаг 3. Находим значение производной в начальной точке \(f'(x_0)\)
Шаг 4. Находим линейное приближение значения функции $$ y^*\approx f(x_0)+f'(x_0)(x^*-x_0) $$ На выходе: значение y*

Например:
1) Найдем значение корня \(\sqrt<65>\)
Функция \(y=\sqrt,\ x^*=65\)
Начальная точка \(x_0=64\). Начальное значение функции \(y_0=\sqrt<64>=8\)
Производная: \(f'(x)=\frac<1><2\sqrt>\)
Производная в начальной точке: \(f'(x_0)=\frac<1><2\sqrt<64>>=\frac<1><16>\)
Подставляем: \(y^*=\sqrt<65>\approx 8+\frac<1><16>(65-64)=8+\frac<1><16>=8,0625\)
Оценим относительную ошибку для полученного результата.
Значение, полученное на калькуляторе: \(\sqrt<65>\approx 8,062258\). Откуда: $$ \partial=\frac<|8,062258|><8,062258>\cdot 100\text<%>\approx 0,003\text <%>$$ Таким образом, в данном случае линейное приближение имеет высокую точность, т.к. для \(x_0=64\) и \(x^*=65\) кривая \(y=\sqrt\) очень близка к прямой, т.е. своей касательной.

2) Найдем значение корня \(\sqrt<5>\)
Пусть начальная точка \(x_0=4\). Начальное значение функции \(y_0=\sqrt<4>=2\)
Производная в начальной точке: \(f'(x_0)=\frac<1><2\sqrt<4>>=\frac14\)
\(y^*=\sqrt<5>\approx 2+\frac14 (5-4)=2,25\)
Значение, полученное на калькуляторе: \(\sqrt<5>\approx 2,23607\) $$ \partial=\frac<|2,23607-2,25|><2,23607>\cdot 100\text<%>\approx 0,06\text <%>$$ Точность стала хуже. Однако, её можно повысить, если взять \(x_0=4,84\).

3) Найдем \(\sqrt<5>\) при \(x_0=4,84\).
\(y_0=\sqrt<4,84>\ =2,2\)
Производная в начальной точке: \(f'(x_0 )=\frac<1><2\cdot 2,2>=\frac<1><4,4>\)
\(y^*=\sqrt<5>\approx 2,2+\frac<1><4,4>(5-4,84)=2,2+\frac<0,16><4,4>=2,2+\frac<2><55>=2,23636…\)
Значение \(\sqrt<5>\approx 2,23607\) $$ \partial=\frac<|2,23607-2,23636|><2,23607>\cdot 100\text<%>\approx 0,01\text <%>$$ Точность повысилась.

Вывод: точку \(x_0\) следует выбирать, исходя из поведения функции \(y=f(x)\) в окрестности \(x^*\). Чем ближе \(x_0\) к \(x^*\) и чем ближе кривая к касательной, тем точнее будет линейное приближение с помощью дифференциала.

п.3. Приближение с точностью до квадрата приращения

Например:
1) Найдем квадратичное слагаемое для \(x^*=65,\ x_0=64,\ y=\sqrt\)
Вторая производная: \(f»(x)=\left(\frac<1><2\sqrt>\right)’=\frac12\cdot\left(-\frac12\right)\cdot\frac<1>>=-\frac<1><4x\sqrt>\) $$ \frac<2>(x^*-x_0)^2=-\frac<(65-64)^2><2\cdot 4\cdot 64\cdot 8>=-\frac<1><4096>\approx -0,0002 $$ Значит, квадратичное слагаемое дает поправку в 4-м знаке.
Используя полученное выше линейное приближение, получаем: $$ y^*=\sqrt<65>\approx 8,0625-0,0002=8,0623\approx 8,062 $$ Квадратичное слагаемое указывает, что округлить результат нужно до 3-го знака после запятой.

2) Найдем квадратичное слагаемое для \(x^*=5,\ x_0=4,\ y=\sqrt\) $$ \frac<2>(x^*-x_0)^2=-\frac<(5-4)^2><2\cdot 4\cdot 4\cdot 2>=-\frac<1><64>\approx -0,02 $$ Получаем: $$ y^*=\sqrt<5>\approx 2,25-0,02=2,23\approx 2,2 $$ Квадратичное слагаемое указывает, что округлить результат нужно до 1-го знака после запятой.

3) Найдем квадратичное слагаемое для \(x^*=5,\ x_0=4,84,\ y=\sqrt\) $$ \frac<2>(x^*-x_0)^2=-\frac<(5-4,84)^2><2\cdot 4\cdot 4,84\cdot 2,2>=-\frac<0,0256><85,184>\approx -0,0003 $$ Получаем: $$ y^*=\sqrt<5>\approx 2,2367-0,0003=2,2364\approx 2,236 $$ Квадратичное слагаемое указывает, что округлить результат нужно до 3-го знака после запятой.

п.4. Полезные формулы приближений для функций вблизи нуля

Рассмотрим свойства приближений некоторых функций при \(x_0=0\) и \(\triangle x=x\rightarrow 0\).
В разложении ограничимся слагаемым \(y(0)\) и линейным приближением. Только если линейное приближение равно 0, будем учитывать слагаемое квадратичного приближения.
1) \(y=sinx\)
\(y’=cosx,\ y»=-sinx\)
\(y(0)=0,\ y'(0)=1,\ y»(0)=0\)
\(sinx\approx 0+1\cdot x-\frac02\cdot x^2\approx x\)

4) \(y=e^x\)
\(y’=y»=e^x\)
\(y(0)=y'(0)=y»(0)=1\)
\(e^x\approx 1+1\cdot x+\frac12\cdot x^2\approx 1+x\)
Пренебрегаем \(\frac<2>\) как очень малым слагаемым.

Источник